На обыгрывании многозначности и схожести слов построен основной, самый распространенный вид языковой игры – каламбур. Для языковой игры используются (пусть не в равной степени) ресурсы всех языковых уровней.

Фонетика, графика, орфография. Пародист Евгений Венский, пародируя Андрея Белого, использует фонетические средства – повторение одного звука:

Тоща, как мощи ты.
Тоща, кащей те во щи! Как теща, тощи мощи.
Ты тщетность красоты.

Комическое впечатление производит шутливо-надрывное обращение А.Чехова в письме к брату Александру: «Братт!» 
Любопытны также шутливые подписи, например подпись одного из Полторацких, совмещающая буквы и цифры: 1/2цкий, или подпись переводчика Федора Федоровича Фидлера – Ф.Ф.Ф. либо: Ф³ (эф в кубе).

Морфология. Иногда языковые шутки обыгрывают (и тем самым подчеркивают) «неприкосновенность» слова. Только в шутку его можно рассечь на части:

Напишите мне нечто о Карамзине, ой, ых (А.Пушкин).

[Из анекдотов о рассеянном профессоре Каблукове]: Выходя из аудитории, профессор говорит: «Следующая лекция состоится во вторницу», а потом кричит в дверь:«ник!»

Рассечение на части слова треволнения остроумно обыгрывается Н.С.Лесковым в рассказе Полунощники: 

Николай Иванович к наpоду был пpоще, но зато стpасть какой пpедпpиятельный: постоянно он в тpех волнениях, и все спешит везде постанов вопpосу делать.

Удачно использует этот пpием Боpис Пильняк в pомане Голый год. В Москве, в годы Гражданской войны, человек, читая по складам вывеску магазина: «Коммутатоpы, аккумулятоpы», понимает ее в духе pеволюционной непpимиpимости («Кому – татоpы, а кому – лятоpы») и возмущается неpавнопpавием: «Вишь, и тут обманывают пpостой наpод!»

Иногда обыгрывается отсутствие того или иного члена парадигмы. На затруднительности образования формы родительного падежа мн. числа слова кочерга (кочерг? кочерег? кочерёг?) М.Зощенко построил, как известно, целый рассказ (авторитетные справочные пособия однозначно рекомендуют здесь форму кочерёг, указывая, впрочем, на ее затруднительность).

Нередко обыгрывается невежественное осмысление иностранных имен собственных на -а, -я как обозначающих лица женского пола:

Подумаешь, Спиноза нашлась!

Сенечка. ...Мария Сергеевна, я вас любил без нахальства, вежливо, как Данте свою Петрарку (В.Шкваркин).

Комический эффект производит образование сравнительной или превосходной степени от слов, ее не имеющих: 

Пусть ты черт. Да наши черти
Всех чертей
В сто раз чертей.
(А.Твардовский. Василий Теркин)

[Разговор детей]:
– Мне сам папа сказал... 
– Мне сама мама сказала... 
– Но ведь папа самее мамы... Папа гораздо самее.
(К.Чуковский. От двух до пяти)

Обыгрывание категории лица глагола заключается в употреблении одного лица вместо другого. Этот прием любил использовать А.Чехов. Вот примеры из его писем к жене, О.Л.Книппер-Чеховой, где он шутливо говорит о себе в третьем лице: ...крепко целую тебя... Не забывай своего мужа. Он ведь сердитый, дерется... Не забывай своего мужа, вспоминай о нем хоть раз в сутки. Обнимаю тебя, мою пьяницу. Твой муж в протертых брюках, но не пьющий.

Еще пример – обыгрывание категории совершенного вида глаголов на по-, указывающих на непродолжительность действия:

Почему ты все дуешь в трубу, молодой человек?
Полежал бы ты лучше в гробу, молодой человек (О.Мандельштам).

При «нормальном» словоупотреблении, если, например, в кровать можно лечь и полежать в ней, то в гроб можно только лечь.

Словообразование. Языковая игра может состоять, в частности, в нарушении ограничений на образование притяжательных прилагательных. Ср.: Глаза у него [Керенского] бонапартьи и цвета защитного френч (В.Маяковский).

Другое широко распространенное явление – нестандартное использование увеличительных и уменьшительных суффиксов. Очень любил этот прием М.Е.Салтыков-Щедрин для дискредитации своих героев.

Но вот он делается чиновником... Не достойный ли, не презренный ли он сосуд... извините, сосудик!.. с каким трепетом берет он в руку бумажку, очинивает ножичком перышко, как работает его миниатюрное воображеньице, как трудится его крохотная мысль, придумывая <...> каждоевыраженьице замысловатого отношеньица. 

Вот еще несколько примеров из произведений Салтыкова-Щедрина: Проектцы; поэтцы и поэтики; шалуненок; шалунище; болтунище.

Сходный эффект имеет употребление русских словообразовательных приставок и суффиксов в иностранных именах собственных, географических названиях. Вот шутка – мрачное политическое пророчество на 2000-й год: Заголовок в газете «Нью-Йорк Таймс»: Колхозники Техасщины, Мичиганщины и Примиссисипья перевыполнили план по весеннему севу.

Синтаксис. Некоторые синтаксические конструкции допускают двоякое понимание, и это позволяет использовать их в языковой игре:

– «Ты что это там, Маничка, так гpомко читаешь!?» – «Истоpию, мама». – «Так читай пpо себя». – «Да в Истоpии, мамочка, пpо меня ничего не написано» (журнал «Сатирикон»).

Какой-то господин, участник похоронной процессии, обратился к соседу: «Вы не скажете, кто покойник?» – «Точно не знаю. Думаю, что как раз тот, что едет в передней карете» (Жюль Ренар).

Деепричастный оборот может указывать на простую одновременность не связанных между собой событий, но может также содержать обоснование того, что описывается в первой части предложения:

[Семейная сцена]: «Я была дурой, выходя за тебя замуж!» – «Да, но я был тогда так увлечен тобой, что этого не заметил».

В ряде случаев шутка строится на намеренном нарушении принципов сочетаемости слов:

Уехал поездом, вернулся ослом.

Сегодня вечерней лошадью я возвращаюсь в мою милую Одессу (кинофильм Неуловимые мстители).

Мальчик спрашивает: А где мама от этой девочки? (по образцу: А где голова от этой куклы?).

Вводные слова и словосочетания типа видишь ли, понимаешь и т.п., казалось бы, уместны при любом обращении на ты. Есть, однако, такие специфические условия, когда их использование приводит к комическому эффекту, например на похоронах:

– Спи спокойно, дорогой товарищ! Память о тебе, видишь ли, надолго сохранится в наших сердцах. Понял, нет?

Некоторые синтаксические конструкции предполагают множественное число входящего в них существительного, которое лишь в шутку может быть заменено на единственное:

При Александре I в официальных придворных объявлениях приглашались на приемы люди таких-то званий, а также знатные особы обоего пола. Жуковский не имел определенного звания по службе при дворе. Он шутил, что в торжественно-праздничные дни и дни придворных выходов он был знатною особою обоего пола (Русский литературный анекдот).

Глаголы, обозначающие физические действия конкретных существ (бежать, идти, гулять), неохотно сочетаются с обозначениями географических единиц, и чем крупнее единица, тем сильнее ощущается необычность:

Но папочка и мамочка уснули вечерком,
А Танечка и Ванечка – в Африку бегом [...]
Вдоль по Африке гуляют, 
Фиги-финики срывают (К.Чуковский. Бармалей).

Стилистика. Комическое впечатление производит использование специальной терминологии – спортивной, военной, научно-технической и т.п. при описании обычных бытовых ситуаций:

На свадьбе спортсмена женщина обращается к молодому человеку: 
– Простите, это Вы жених?
– Нет, я выбыл в четвертьфинале.

Эй, славяне, что с Кубани,
С Дона, с Волги, с Иртыша,
Занимай высоты в бане,
Закрепляйся не спеша! (А.Твардовский. Василий Теркин)

[Признание в любви студента-математика]: 
Наташа, родная, желанная!
Изранил меня треугольник страстей
Заела любовь многогранная (М.Исаковский. Формула любви).

Комический эффект может создаваться пародированием особенностей стиля, ср.:

С богатой добычей вернулся в родное стойбище охотник Черттезнаев. Каково же было удивление 60-летнего охотника, когда оказалось, что мех двух убитых им лисиц – искусственный! Это уже не первый случай отстрела в Якутии лисиц с искусственным мехом («Литературная газета», 13-я страница).

Нелепость содержания подчеркивает особенности газетного стиля, в частности, его склонность к штампам и претензию на достоверность и точность информации.

Большой комический заряд содержится в так называемой макаронической речи, где смешиваются слова и формы из разных языков, ср.:

Ардальон Панкратьевич (нос свеклой, глаза – тусклые) вошел в палату и (кислым голосом):
– Мать, поднеси чарочку. 
Ардальоновы девы всполохнулись, закивали туловищами, учиняли политес с конверзационом: 
– Пуркуа, фатер, спозаранку водку хлещете? (А.Флит, пародия на Петра I А.Толстого).

Комический эффект создается здесь смешением трех языков – русского (просторечного-архаичного), немецкого и французского.

Многие авторы любят играть не отдельными словами или сочетаниями слов, а целыми текстами. Простое соединение двух текстов (вполне нейтральных или даже поэтически-возвышенных!) может привести к двусмысленности и производить комический эффект, как это происходит в рассказе Н.Тэффи, где совмещаются строчки из двух стихотворений Пушкина:

– Пушкин... был вдохновлен нянькой на свои лучшие произведения. Вспомните, как отзывался о ней Пушкин: «Голубка дряхлая моя... голубка дряхлая моя... сокровища мои на дне твоем таятся...» 
– Pardon, – вмешался молодой человек... – это как будто к чернильнице...

Прагматика. Существуют общие закономерности общения, которыми должны руководствоваться все говорящие, на каком бы языке они ни говорили. Один из этих постулатов – постулат информативности («Сообщай что-то новое»). Пушкин, нарушая его, добивается комического эффекта в следующем (совершенно неинформативном) обращении к Павлу Вяземскому: 

Душа моя Павел,
Держись моих правил:
Люби то-то, то-то,
Не делай того-то.
Кажись, это ясно.
Прощай, мой прекрасный.

Другой постулат – постулат истинности или искренности («Говори правду»). Его нарушение также необычно, а иногда может привести к недоразумению. Вспомним сцену, когда Буратино с котом Базилио и лисой Алисой приходят в харчевню:

Хозяин харчевни выскочил навстречу гостям <...>
– Не мешало бы нам перекусить хоть сухой корочкой, – сказала лиса.
– Хоть коркой хлеба угостили бы, – повторил кот <...>
– Эй, хозяин, – важно сказал Буратино, – дайте нам три корочки хлеба.
– Веселенький, остроумненький Буратино шутит с вами, хозяин, – захихикала лиса.

Между тем Буратино не шутил, он строго следовал постулату истинности (искренности). Он не учел, что Кот и Лиса (как и все мы) склонны преувеличивать (или преуменьшать), ср.: Миллион раз тебе говорил...; Можно тебя на секундочку? Мы привыкли к подобным неточностям, преувеличениям, а Буратино – пока нет.

Еще один пример нарушения постулата истинности для создания комического эффекта: 

Цыганята бегают, грязные – смотреть страшно. Взять такого цыганенка, помыть его мылом, и он тут же помирает, не может вытерпеть чистоты (А.Толстой. Похождение Невзорова, или Ибикус).

Нередко в языковой игре используются особенности разных типов речевых актов (таких, как утверждения, просьбы, вопросы и т.д.). Иногда один тип речевого акта «маскируется» под другой: просьба в виде вопроса (Вы не могли бы подать мне соль?) и т.д. Вот анекдот, обыгрывающий это явление:

Экскурсовод: «Если бы уважаемые дамы минутку помолчали, мы услышали бы ужасающий рев Ниагарского водопада». Просьба помолчать (с элементами упрека) – излагается в виде предположения.

Могут обыгрываться также так называемые коммуникативные неудачи (результат разного понимания цели высказывания):

Врач – пациентке: «Раздевайтесь!» – «А вы, доктор?».

Языковая игра — это некоторая языковая неправильность (или необычность) и, что очень важно, неправильность осознаваемая говорящим (пишущим) и намеренно допускаемая. Только намеренная неправильность вызовет не досаду и недоумение, а желание поддержать игру и попытаться вскрыть глубинное намерение автора.